第4章 我怎么会没想到呢？ (1/2)

“命题1.1：设j:ℝ^d→ℝ是m-强凸(m>0)且l-光滑(l<∞)的函数。考虑经典过阻尼langevin扩散：dx_t=-∇j(x_t)dt+σdb_t，x_0=x₀其中b_t是标准d-维brownian运动……”

这的确不是论文，没有标题、目录、没有引言跟导语，格式也跟规范不沾边，而且手机拍摄的手稿照片看起来也不太方便。

但却让苏志坚看得无比认真，比看他正经学生提交的正经论文还认真。

此刻，苏志坚的办公室里安静到落针可闻。

直接看到第一个结论，苏志坚才抬头看了眼已经坐在他对面似乎在发呆的乔源。

“……结合b的全局lipschitz性，sde有唯一强解，且由harris定理，存在唯一不变概率测度μ_σ。

其密度由fokker-planck方程稳态解给出：0=∇·[∇j(x)μ_σ(x)]+(σ²/2)Δμ_σ(x)直接验证μ_σ(x)=z^{-1}exp(-2j(x)/σ²)(z是归一化常数)是解。”

创造性的漂移项性质，扩散项选取，以及lyapunov函数构造，利用j的强凸性和光滑性，解决了指数遍历性问题。

苏志坚稳了稳心神，收回目光，开始看向收敛性证明。

这一块乔源利用的耦合方法跟泛函不等式。

“令z_t=x_t^x-x_t^y。则dz_t=-[∇j(x_t^x)-∇j(x_t^y)]dt……”

“呼……”

看完第二部分后，苏志坚长出了口气。

原因无他，接连两个部分，他粗看之下竟然没找出什么问题。

虽然格式很糟糕，或者说看不出格式，但证明思路非常严谨。

除去一些证明过程被跳了过去外，当然这对浸淫这个问题许久的苏志坚来说，绝大部分跳过的证明过程，他都能脑补上。

小部分可能需要跟乔源探讨……

苏志坚忍不住再次抬头看了眼坐在对面的孩子，有那么一瞬间，他开始怀疑这小子的本科生身份。

他是早就知道乔源极有数学天赋的，但打死他都没想到这天赋能高到这个份儿上！

接下来是最重要的收敛速率共振跟共振现象显现问题的处理了。

苏志坚收敛了心神，再次翻动起手机图片……

因为看得仔细，这次耗时也很长，大概半个小时后，苏志坚终于看到了结论。

“对固定精度δ，存在最优噪声强度σ*=\sqrt{2δ/d}，使得达到精度δ的时间最短。共振发生！σ*随δ减小而减小(δ→0⇒σ*→0)。”

此时的苏志坚大脑一片空白。

只剩下一个声音在不停的反复质问自己：“我特么怎么就没能想到可以利用熵衰减跟bakry-Émery理论？！”

定了定心神，当苏志坚再次抬头看向对面那张青涩的脸，只觉得这个本科生是个妖孽……

智多近乎妖……

“这些……真是你独立证明出来的？”

苏志坚认真的问道。

乔源点了点头，开口解释道：“不过暑假我看了很多书跟网上关于一些问题讲解的视频。”

“呼……这些不重要，你先坐过来给我讲讲这几处的思考路线。”

第4章